Ladik komt met een integrator module!!

[Disharmonic]

Ja, inderdaad. Vooral omdat het hier gaat om analoog. Ook al ontkom je vaak niet aan een wiskundige benadering, die tak van elektronica heeft ook een proefondervindelijke kant waarbij die wiskunde niet altijd even diep en rigoureus hoeft om tot iets bruikbaars te komen. Om dan toch de onderste mathematische steen boven te halen, dat is leuk om te volgen.

 

[ProgHead]

Mijn posts moeten er voor "andersdenkenden" wel heel raar uit zien. Maar mijn bedoeling is om met mijn modular uiteindelijk op wiskundige vergelijkingen gebaseerde geluiden te genereren, in de wereld van de wiskunde ben ik redelijk thuis. En daarvoor moet ik weten hoe de Ladik integrator wiskundig beschreven kan worden. Het is kennelijk geen ideale integrator (wat niemand zal verbazen) maar ook geen leaky integrator (en dat laatste had ik eigenlijk wel verwacht). Maar ik vind het wel zo spannend nu dat de Ladik integrator een heel speciaal beestje blijkt te zijn. Des te meer valt er te onderzoeken en te ontdekken.

Volgende stap is uitgaande van vergelijking (11) af te leiden welke signaal een loop van twee Ladik integrators en een inverter oplevert. Ik heb in het klad al wel wat dingen vooruit berekend en als het goed is (duimendraaien!) gaan we voor de loop op de in berichtje #137 geposte differentiaalvergelijking uitkomen. Daarmee is dan aangetoond dat vergelijking (11) het basisgedrag van de Ladik integrator afdoende beschrijft. Alleen moet dan proefondervindelijk nog worden uitgezocht hoe a en b voor de drie modi CV, HI en LO van een concrete Ladik integrator van de GAIN (corresponderend met [imath] \alpha [/imath]) afhangen. Zo is althans het plan...

 

[ProgHead]

We hebben als vergelijking (11) voor de Ladik integrator (bij [imath] \mathrm{U}_{off} = 0 [/imath]) dat:

[imath] \frac{\mathrm{U}_{in}}{\mathrm{b}} \, = \, \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}_{out}}{ \mathrm{d}t } \, + \, \mathrm{a} \cdot \mathrm{U}_{out} [/imath]

Uit het schema voor de loop zien we direct al dat:

[imath] \mathrm{U} = \mathrm{U}_2 \,\,\,\,\,\, (12) [/imath]


En voor de integrator in het midden:

[imath] \frac{\mathrm{U}_1}{\mathrm{b}} \, = \, \frac{ \mathrm{d} (- \mathrm{U})}{ \mathrm{d}t } \, + \, \mathrm{a} \cdot (- \mathrm{U}) [/imath]

[imath] \mathrm{U}_1 \, = \, - \mathrm{b} \cdot \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t } \, - \, \mathrm{a} \, \mathrm{b} \, \mathrm{U} \,\,\,\,\,\, (13) [/imath]


Uit (13) volgt verder nog dat:

[imath] \frac{\mathrm{d}\mathrm{U}_1 }{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left ( - \mathrm{b} \cdot \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t } \, - \,\mathrm{a} \, \mathrm{b} \, \mathrm{U} \right ) [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d}\mathrm{U}_1 }{\mathrm{d} t} = - \mathrm{b} \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, - \, \mathrm{a} \, \mathrm{b} \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} [/imath]

[imath] \mathrm{b} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{U}_1 }{\mathrm{d} t} = - \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, - \, \mathrm{a} \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \,\,\,\,\,\, (14) [/imath]


Combinatie van (13) en (14) geeft:

[imath] \mathrm{b} \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}_1 }{\mathrm{d} t} \, + \, \mathrm{a} \, \mathrm{b} \, \mathrm{U}_1 = - \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, - \, \mathrm{a} \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \, - \, \mathrm{a} \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t } \, - \, \mathrm{a}^2 \, \mathrm{b}^2 \, \mathrm{U} [/imath]

[imath] \mathrm{b} \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}_1 }{\mathrm{d} t} \, + \, \mathrm{a} \, \mathrm{b} \, \mathrm{U}_1 = -\mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, - \, 2 \mathrm{a} \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \, - \, \mathrm{a}^2 \, \mathrm{b}^2 \, \, \mathrm{U} \,\,\,\,\,\, (15) [/imath]


Voor de voorste integrator in het circuit geldt:

[imath] \frac{\mathrm{U}_2}{\mathrm{b}} \, = \, \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}_1}{ \mathrm{d}t } \, + \, \mathrm{a} \mathrm{U}_1 [/imath]

[imath] \mathrm{U}_2 \, = \, \mathrm{b} \cdot \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}_1}{ \mathrm{d}t } \, + \, \mathrm{a} \, \mathrm{b} \, \mathrm{U}_1 \,\,\,\,\,\, (16) [/imath]


Combinatie van (15) en (16) levert:

[imath] \mathrm{U}_2 \, = \, - \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, - \, 2 \mathrm{a} \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \, - \, \mathrm{a}^2 \, \mathrm{b}^2 \, \mathrm{U} \,\,\,\,\,\, (17) [/imath]


Ten slotte geeft substitutie van (12) in (17) de differentiaalvergelijking van het circuit:

[imath] \mathrm{U} \, = \, - \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, - \, 2 \mathrm{a} \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \, - \, \mathrm{a}^2 \, \mathrm{b}^2 \, \mathrm{U} [/imath]

[imath] - \mathrm{U} \, = \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, + \, 2 \mathrm{a} \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \, + \, \mathrm{a}^2 \, \mathrm{b}^2 \, \mathrm{U} [/imath]

[imath] \mathrm{b}^2 \cdot \frac{ \mathrm{d}^2 \mathrm{U}}{ \mathrm{d}t^2 } \, + \, 2 \mathrm{a} \, \mathrm{b}^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \mathrm{U}}{\mathrm{d} t} \, + \, (\mathrm{a}^2 \, \mathrm{b}^2 + 1) \, \mathrm{U} = 0 \,\,\,\,\,\, (18) [/imath]

En dat is de differentiaalvergelijking uit berichtje #137.

 

[ProgHead]

We hebben als formule voor de Ladik integrator:

[imath] \frac{\mathrm{U}_{in}}{\mathrm{b}} \, = \, \frac{ \mathrm{d} \mathrm{U}_{out}}{ \mathrm{d}t } \, + \, \mathrm{a} \cdot \mathrm{U}_{out} [/imath]

Nu is het zaak proefondervindelijk te bepalen hoe a en b van de GAIN afhangen. Voor het gemak nemen nu aan dat de GAIN lineair naar wens op waarden van 0 (= minimaal) tot en met 1 (= maximaal) kan worden ingesteld.

Hoe a precies van de GAIN afhangt kunnen we achterhalen door bij [imath] \mathrm{U}_{in} = 0 [/imath] te meten hoe lang het duurt voordat een aanvankelijk hoge (positieve) waarde van [imath] \mathrm{U}_{out} [/imath] tot de helft van de oorspronkelijke waarde is afgenomen. Deze tijdsduur noemen we de halfwaardetijd [imath] \tau_a [/imath]. Zie voor de bijpassende formule:

Voor a en [imath] \tau_a [/imath] geldt dus:

[imath] \mathrm{c}_1 e^{-a (t + \tau_a)} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{c}_1 e^{-a t} [/imath]

[imath] e^{-a t \, + \, -a \tau_a} = \frac{1}{2} \cdot e^{-a t} [/imath]

[imath] e^{-a t} \cdot e^{-a \tau_a} = \frac{1}{2} \cdot e^{-a t} [/imath]

[imath] e^{-a \tau_a} = \frac{1}{2} [/imath]

[imath] \frac{1}{e^{a \tau_a}} = \frac{1}{2} [/imath]

[imath] e^{a \tau_a} = 2 [/imath]

[imath] a \tau_a = \ln(2) [/imath]

[imath] a = \frac{\ln(2)}{ \tau_a } [/imath]


Voor one-shots is [imath] \tau_a [/imath] alleen voor lange halfwaardetijden goed te meten, dus dat is vooral in de CV modus aan de orde. Het indirect meten van korte halfwaardetijden is met een functiegenerator (met dank aan Grumble ) een eitje. We nemen daartoe een blokgolf en geven die een zodanige offset dat het lage deel van de blokgolf-cyclus precies op 0V valt. Dat signaal gaat dan in de Ladik integrator en vervolgens is het uitgangssignaal van die integrator (bij niet al te lage frequenties) op de scope te bekijken. De frequentie kan dan zodanig afgeregeld worden dat [imath] \mathrm{U}_{out} [/imath] gedurende het lage deel van de blokgolf tot precies de helft afneemt. Noem de frequentie waarbij dat gebeurt fa. De helft van de trillingtijd van de blokgolf (dat is 1/2 . 1/fa) is dan de gezochte halfwaardetijd [imath] \tau_a [/imath].

Zo ziet het er op de scope uit:

Let wel: heel dit verhaal klopt alleen zolang er geen overload optreedt!

 

[ProgHead]

En dit zijn mijn meetresultaten:

GAIN	CV	HI	LO
0	[imath] \tau_a [/imath] = 5 s	Geen meetbaar signaal	[imath] \tau_a [/imath] = 0,25 s
1/4	[imath] \tau_a [/imath] = 5 s	fa= 35 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 14,3 ms	fa = 2 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 0,25 s
1/2	[imath] \tau_a [/imath] = 5 s	fa= 35 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 14,3 ms	fa = 2 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 0,25 s
3/4	[imath] \tau_a [/imath] = 5 s	fa= 35 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 14,3 ms	fa = 2 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 0,25 s
1	[imath] \tau_a [/imath] = 5 s	fa= 35 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 14,3 ms	fa = 2 Hz => [imath] \tau_a [/imath] = 0,25 s

 

[ProgHead]

Dus zouden [imath] \tau_a [/imath] en ook a zelf onafhankelijk van de GAIN zijn. Maar bovendien zou a dan steeds positief moeten zijn, in welk geval er in een loop van twee Ladik integrators en een inverter op grond van een eerder bewijs enkel gedempte oscillatie zou kunnen optreden. Van dat laatste weten we echter proefondervindelijk dat het onjuist is, want in elk geval in de HI en LO modus kunnen wel ongedempte oscillaties optreden. Hier is dus nog iets niet in de haak...

Eerst nog maar weer wat meer meten.

 

[Disharmonic]

Zorg wel dat je nog een beetje slaap krijgt...

 

[ProgHead]

Ja - betrapt. Maar goed, ik heb deze dagen vrij en wil graag voor het nieuwe jaar weten wat die Ladik integrator nu precies doet. En dat is minder eenvoudig dan het lijkt:

“Problems worthy of attack
prove their worth by fighting back.”​

(Piet Hein)

 

[Disharmonic]

Ja - betrapt. Maar goed, ik heb deze dagen vrij en wil graag voor het nieuwe jaar weten wat die Ladik integrator nu precies doet.

Ik zie een huis voor me met een chaos van modules, oscilloscopen, multimeters, overal lege pizzadozen en bierflesjes, met ergens daartussen een nogal ongewassen bewoner met een verwilderde blik in z'n ogen.

Ik hoop dat het meevalt.

 

[ProgHead]

Ik zie een huis voor me met een chaos van modules,

Nog niet...

oscilloscopen, multimeters,

toon- en functiegeneratoren, soldeerspullen en elektronica onderdeeltjes. Klopt.

overal lege pizzadozen

Nee nee - ik eet gezond.

en bierflesjes,

Speciale bierflesjes wel, maar geen bergen van flesjes. Ik drink zo nu en dan één (niet meer) speciaal biertje bij de warme maaltijd. Dat wel.

met ergens daartussen een nogal ongewassen bewoner met een verwilderde blik in z'n ogen.

Die verwilderde blik zou me niet verbazen. Er blijft te weinig tijd over om mezelf in de spiegel te bekijken. Maar mensen bieden me op straat de laatste tijd wel verdacht vaak hun excuses aan als ze in de weg lopen, staan te treuzelen, etc.

Ik hoop dat het meevalt.

Mwah - als mijn vakantie erop zit moet ik ook weer normaal mee draaien...

 

[ProgHead]

Even nog wat meer meetresultaten. Ik heb voor de drie modi en verschillende waarden van de GAIN de oscillatie-frequentie fo van de loop bestaande uit twee Ladik integrators en een inverter gemeten:

GAIN	CV	HI	LO
0	geen oscillatie	geen oscillatie	geen oscillatie
1/4	fo = 0,5 Hz	fo = 200 Hz	fo = 15 Hz
1/2	fo = 1 Hz	fo = 600 Hz	fo = 50 Hz
3/4	fo = 2,5 Hz	fo = 800 Hz (met overload)	fo = 145 Hz
1	fo = 12 Hz	fo = 1000 Hz (met overload)	fo = 160 Hz (met overload)

 

[ProgHead]

Nog wat meer met Falstad gespeeld maar hoeveel versterking ik ook aan de loop toevoeg, zonder interne feedback in de integrators blijft het een gedempte oscillatie. Maar met interne feedback krijg ik een formule voor de Ladik integrator die in de praktijk niet blijkt te kloppen....

Welke andere opties zijn er om de oscillatie in stand te houden? Wellicht is de onvoldoende fasedraaiing van de integrators het probleem. Een ideale integrator geeft onafhankelijk van de frequentie [imath] 90^{\circ} [/imath] fasedraaiing en daarmee heb je in de loop in totaal [imath] 360^{\circ} [/imath] fasedraaiing. Maar een niet-ideale (leaky) integrator heeft minder dan [imath] 90^{\circ} [/imath] fasedraaiing. Zou dat het probleem zijn? Zo ja - dan is het een oplossing om elders in het integrator circuit nog een klein extra plukje fasedraaiing toe te voegen zodat de totale loop wel weer op [imath] 360^{\circ} [/imath] fasedraaiing uitkomt. En die hack blijkt te werken:

$ 1 0.000005 11.086722712598126 46 5 50 5e-11
a -304 -256 -128 -256 8 15 -15 1000000 -0.000006950935843172616 0 100000
g -304 -240 -304 -112 0 0
c -304 -336 -128 -336 0 4e-8 -0.6951005352531048 1
a -96 -288 16 -288 9 15 -15 1000000 0.6950866334509272 0.6950935843172616 100000
w -96 -272 -96 -224 0
w -96 -224 16 -224 0
r -304 -272 -464 -272 0 10000
x 399 -652 627 -649 4 24 lintegrator-loop\s2(LO)
w -304 -336 -304 -272 0
w -96 -304 -128 -304 0
w -592 -208 -592 -272 0
w -704 -208 -592 -208 0
a -704 -272 -592 -272 9 15 -15 1000000 -0.4101071849839509 -0.41011128605580077 100000
w 16 -288 16 -224 0
w 192 -352 192 -288 0
r 192 -288 16 -288 0 10000
g 192 -256 192 -112 0 0
a 192 -272 368 -272 8 15 -15 1000000 0.000006888962857344796 0 100000
r 192 -352 368 -352 0 10000
w -128 -336 -128 -304 0
w -128 -304 -128 -256 0
w -304 -336 -304 -400 0
w -592 -272 -544 -272 0
w 848 -320 848 -384 0
w 1024 -288 1024 -240 0
w 1024 -320 1024 -288 0
r 1344 -336 1520 -336 0 10000
a 1344 -256 1520 -256 8 15 -15 1000000 -0.000004101194882815218 0 100000
g 1344 -240 1344 -96 0 0
r 1344 -272 1168 -272 0 10000
w 1344 -336 1344 -272 0
w 1168 -272 1168 -208 0
a 448 -256 560 -256 9 15 -15 1000000 -0.6888893968405112 -0.6888962857344796 100000
w 448 -192 560 -192 0
w 560 -192 560 -256 0
w 1056 -288 1024 -288 0
w 848 -320 848 -256 0
w 1056 -208 1168 -208 0
w 1056 -256 1056 -208 0
a 1056 -272 1168 -272 9 15 -15 1000000 -0.40004375239444795 -0.40004775283197186 100000
c 848 -320 1024 -320 0 4e-8 0.40005175330950016 0
g 848 -224 848 -96 0 0
a 848 -240 1024 -240 8 15 -15 1000000 0.000004000477528319718 0 100000
w -752 -288 -704 -288 0
w 368 -352 368 -272 0
w 1520 -336 1520 -256 0
w -704 -208 -704 -256 0
r -304 -400 -128 -400 0 1000000
r 848 -384 1024 -384 0 1000000
w 1024 -384 1024 -320 0
w -128 -400 -128 -336 0
w 448 -272 368 -272 0
w 448 -240 448 -192 0
w 1600 -256 1520 -256 0
w 736 144 656 144 0
w 656 64 656 144 0
w 480 64 480 128 0
r 480 128 304 128 0 10000
g 480 160 480 240 0 0
a 480 144 656 144 8 15 -15 1000000 0.000004101112860558008 0 100000
r 480 64 656 64 0 10000
w 1600 -256 1600 -32 0
w 1600 -32 304 -32 0
w 304 -32 304 128 0
w 736 144 736 352 0
w 736 352 -752 336 0
w -752 -288 -752 336 0
174 -544 -144 -464 -256 1 1000 0.6188 Resistance
g -544 -144 -544 -112 0 0
w -464 -272 -464 -208 0
w 688 -256 688 -192 0
g 608 -128 608 -96 0 0
174 608 -128 688 -240 1 1000 0.5990000000000001 Resistance
w 560 -256 608 -256 0
r 848 -256 688 -256 0 10000
c 192 -400 368 -400 0 1e-9 0.688903174697337 0.001
c 1344 -384 1520 -384 0 1e-9 -0.41012358947640465 0.001
w 192 -400 192 -352 0
w 368 -400 368 -352 0
w 1344 -384 1344 -336 0
w 1520 -384 1520 -336 0
o 61 64 0 4099 5 0.000390625 0 2 61 3

Blijft nog wel de cruciale vraag of we daarmee dan eindelijk een deugdelijk model van de Ladik integrator te pakken hebben...

 

[ProgHead]

Ik heb nog weer verder aan mijn Falstad-model van de Ladik-integrator gesleuteld, en het ziet er nu zoiets uit:

Verder heb ik gemerkt dat ik de oscillatie-frequentie zoals die bij vervorming in de hardware uitvoering van de loop optreedt in het Falstad-model niet goed krijg nagebootst, wat eigenlijk ook niet zo gek is. De metingen waarop hier alles gebaseerd is zijn sowieso niet erg nauwkeurig, want als ik dingen nog eens nameet blijkt er gemakkelijk zo'n 30% verschil tussen die twee metingen te kunnen zitten. Dat kan aan van alles liggen: verschillen tussen verschillende exemplaren van dezelfde module, temperatuurverschillen, het feit dat de Gain knoppen geen schaalverdeling hebben, etc. Zo erg is dat ook allemaal niet, het gaat mij bij het Falstad-model enkel om de grote lijnen om zo later ook wiskundig en softwarematig te kunnen inschatten wat als patch op de hardware modular interessant zou kunnen zijn. .

 

[ProgHead]

Nu is het zaak (stap voor stap) de wiskundige vergelijking af te leiden die de Ladik integrator beschrijft. We beginnen met een blokschema:

 

[ProgHead]

Het meest linkse blokje van het blokschema bevat dit:

We zien dat:

[imath] U = - \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} \,\,\,\,\,\,\,\, (1) [/imath]


Laat:

[imath] \mathrm{R}_6 = ( \alpha \, \mathrm{R}_3 ) // \{ (1 - \alpha)\, \mathrm{R}_ 4 \, + \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 ) // \mathrm{R}_5 \} \,\,\,\,\,\,\,\, (2) [/imath]

[imath] \mathrm{R}_7 = (1 - \alpha)\, \mathrm{R}_ 4 \, + \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 ) // \mathrm{R}_5 \,\,\,\,\,\,\,\, (3) [/imath]

Zodat:

[imath] \mathrm{R}_6 = ( \alpha \, \mathrm{R}_3 ) // \mathrm{R}_7 [/imath]

[imath] \mathrm{R}_6 = \frac{ ( \alpha \, \mathrm{R}_3 ) \cdot \mathrm{R}_7 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } [/imath]

[imath] \mathrm{R}_6 = \frac{ \alpha \, \mathrm{R}_7 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } \cdot \, \mathrm{R}_3 \,\,\,\,\,\,\,\, (4) [/imath]


[imath] \mathrm{R}_7 = (1 - \alpha)\, \mathrm{R}_ 4 \, + \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 ) // \mathrm{R}_5 [/imath]

[imath] \mathrm{R}_7 = (1 - \alpha)\, \mathrm{R}_ 4 \, + \, \frac{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \cdot \mathrm{R}_5}{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } [/imath]

[imath] ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) \cdot \mathrm{R}_7 = (1 - \alpha)\, \mathrm{R}_ 4 \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4 \cdot \mathrm{R}_5 [/imath]

[imath] ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) \cdot \mathrm{R}_7 = (1 - \alpha) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 ) \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4 \cdot \mathrm{R}_5 [/imath]

[imath] ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) \cdot \mathrm{R}_7 = ( \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 ) \, - \, ( \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 ) \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4 \cdot \mathrm{R}_5 [/imath]

[imath] ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) \cdot \mathrm{R}_7 = \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (5) [/imath]


Dan zien we dat:

[imath] V = \frac{\mathrm{R}_6}{ (1 - \alpha) \mathrm{R}_3 + \mathrm{R}_6 } \cdot U \,\,\,\,\,\,\,\, (6) [/imath]

De teller T kunnen we herschrijven als:

[imath] T = \mathrm{R}_6 [/imath]

[imath] T = \alpha \, \mathrm{R}_7 \cdot \frac{1}{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } \cdot \, \mathrm{R}_3 \,\,\,\,\,\,\,\, (7) [/imath]

En de noemer N als:

[imath] N = (1 - \alpha) \mathrm{R}_3 + \mathrm{R}_6 [/imath]

[imath] N = (1 - \alpha) \mathrm{R}_3 + \frac{ \alpha \, \mathrm{R}_7 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } \cdot \, \mathrm{R}_3 [/imath]

[imath] N = ( (1 - \alpha) \, + \, \frac{ \alpha \, \mathrm{R}_7 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } ) \cdot \, \mathrm{R}_3 [/imath]

[imath] N = ( (1 - \alpha) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 ) \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_7 ) \cdot \, \frac{ 1 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } \cdot \mathrm{R}_3 [/imath]

[imath] N = ( ( \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 ) \, - \, ( \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_7 ) \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_7 ) \cdot \, \frac{ 1 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } \cdot \mathrm{R}_3 [/imath]

[imath] N = ( \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 ) \cdot \, \frac{ 1 }{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 } \cdot \mathrm{R}_3 \,\,\,\,\,\,\,\, (8) [/imath]

Dus:

[imath] V = \frac{\alpha \, \mathrm{R}_7}{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 } \cdot U \,\,\,\,\,\,\,\, (9) [/imath]


Vervolgens zien we dat:

[imath] W = \frac{ (\alpha \, \mathrm{R}_4) // \mathrm{R}_5 }{ (1 - \alpha) \, \mathrm{R}_4 \, + \, (\alpha \, \mathrm{R}_4) // \mathrm{R}_5 } \cdot V \,\,\,\,\,\,\,\, (10) [/imath]

Hier schrijven we de teller als T' en de noemer als N'. Dus:

[imath] T' = (\alpha \, \mathrm{R}_4) // \mathrm{R}_5 [/imath]

[imath] T' = \frac{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, \cdot \, \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } [/imath]

[imath] T' = \frac{ \alpha \, \cdot \, \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } \cdot \mathrm{R}_4 [/imath]

[imath] T' = \alpha \, \cdot \, \mathrm{R}_5 \cdot \frac{\mathrm{R}_4}{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } \,\,\,\,\,\,\,\, (11) [/imath]


[imath] N' = (1 - \alpha) \, \mathrm{R}_4 \, + \, (\alpha \, \mathrm{R}_4) // \mathrm{R}_5 [/imath]

[imath] N' = (1 - \alpha) \, \mathrm{R}_4 \, + \, \frac{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, \cdot \, \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } [/imath]

[imath] N' = [ (1 - \alpha) \, + \, \frac{ \alpha \, \cdot \, \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } ] \cdot \mathrm{R}_4 [/imath]

[imath] N' = ( (1 - \alpha) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) \, + \, \alpha \cdot \, \mathrm{R}_5 ) \cdot \frac{\mathrm{R}_4}{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 }[/imath]

[imath] N' = ( ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 ) - ( \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 \, + \, \alpha \cdot \mathrm{R}_5 ) \, + \, \alpha \cdot \, \mathrm{R}_5 ) \cdot \frac{\mathrm{R}_4}{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 }[/imath]

[imath] N' = ( \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 ) \cdot \frac{\mathrm{R}_4}{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 } \,\,\,\,\,\,\,\, (12) [/imath]

Zodat:

[imath] W = \frac{ \alpha \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot V \,\,\,\,\,\,\,\, (13) [/imath]


Combinatie van (9) en (13) geeft:

[imath] W = \frac{ \alpha \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{\alpha \, \mathrm{R}_7}{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 } \cdot U \,\,\,\,\,\,\,\, (14) [/imath]


Tenslotte zien we dat:

[imath] U_{uit} = - W \,\,\,\,\,\,\,\, (15) [/imath]


Combinatie van (1), (14) en (15) levert:

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{\alpha \, \mathrm{R}_7}{ \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 } \cdot \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} [/imath]

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{(\alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_7) }{ ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_3 \, + \, \mathrm{R}_7 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_3) } \cdot \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} [/imath]

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{(\alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_7) }{ ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_3) \, + \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot \mathrm{R}_7 \, - \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot\alpha^2 \, \mathrm{R}_3 } \cdot \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} [/imath]

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha^2 \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{(\alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5) \cdot \mathrm{R}_7 }{ ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_3) \, + \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot \mathrm{R}_7 \, - \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot\alpha^2 \, \mathrm{R}_3 } \cdot \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} \,\,\,\,\,\,\,\, (16) [/imath]


Substitutie van (5) in (16) geeft:

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha^2 \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{\alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 }{ ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot ( \alpha \, \mathrm{R}_3) \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \, - \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4 + \mathrm{R}_5 ) \cdot\alpha^2 \, \mathrm{R}_3 } \cdot \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} [/imath]

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha^2 \mathrm{R}_5 }{ \alpha \, \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 } \cdot \frac{\alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 }{ \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 + \alpha \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \, - \, \alpha^3 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 } \cdot \frac{ \mathrm{R}_2 }{ \mathrm{R}_1 } \cdot U_{in} [/imath]

[imath] U_{uit} = \frac{ \alpha^2 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_5 \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 ) }{ \mathrm{R}_1 ( \alpha \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 ) \, ( \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 + \alpha \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \, - \, \alpha^3 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 ) } \cdot U_{in} \,\,\,\,\,\,\,\, (17) [/imath]

De functie [imath] \mathrm{gn}( \,\, ) [/imath] uit het blok schema (zie vorige berichtje) luidt dus als volgt:

[imath] \mathrm{gn}(\alpha) = \frac{ \alpha^2 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_5 \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 ) }{ \mathrm{R}_1 ( \alpha \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 ) \, ( \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 + \alpha \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \, - \, \alpha^3 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 ) } \,\,\,\,\,\,\,\, (18) [/imath]


Fijn...

 

[vinnieq]

Toen ik bij wiskunde met dit soort vergelijkingen als antwoord kwam dan kreeg ik daar geen punten voor. Maar kennelijk kan het toch best goed zijn!

 

[ProgHead]

Toen ik bij wiskunde met dit soort vergelijkingen als antwoord kwam dan kreeg ik daar geen punten voor. Maar kennelijk kan het toch best goed zijn!

Schoolopgaven zijn voorgekookte vraagstukken waarbij alles mooi uitkomt, in de praktijk is dat zelden zo. Ik ben er gisteren de hele dag mee bezig geweest om die afleiding te maken. De uiteindelijk gevonden formule lijkt mij zelf overigens ook onbruikbaar. Dat wordt zo te veel rekenwerk. Waarschijnlijk is het beter om er een grafiekje van te maken waaruit de lezer de uitkomst van [imath] \mathrm{gn}(\alpha) [/imath] voor een gegeven modus (CV, HI of LO) en waarde van [imath] \alpha [/imath] gemakkelijk kan aflezen. Of anders om de gevonden formule door een eenvoudiger benaderende formule te vervangen. Het komt bij dit project immers niet zo heel precies.

 

[ProgHead]

In elk geval moeten we de waarden van de componenten voor de drie modi weten:

 

[ProgHead]

Voor het gebruik van softwarematige hulpmiddelen bij de vereenvoudiging van [imath] \mathrm{gn}(\,\,) [/imath] is het handig om de volgende codering te gebruiken:

[imath] \mathrm{A} = \mathrm{R}_1 [/imath]
[imath] \mathrm{B} = \mathrm{R}_2 [/imath]
[imath] \mathrm{C} = \mathrm{R}_3 [/imath]
[imath] \mathrm{D} = \mathrm{R}_4 [/imath]
[imath] \mathrm{E} = \mathrm{R}_5 [/imath]


Uit de plaatjes van mijn vorige berichtje lezen we dan af dat:

Voor de CV-modus:

[imath] \mathrm{A} = \mathrm{R}_1 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{B} = \mathrm{R}_2 = 4,5 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{C} = \mathrm{R}_3 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{D} = \mathrm{R}_4 = 2 \mathrm{k}\Omega [/imath] (heb deze voor de zekerheid nog even in Falstad zelf nagekeken)
[imath] \mathrm{E} = \mathrm{R}_5 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]


Voor de HI-modus:

[imath] \mathrm{A} = \mathrm{R}_1 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{B} = \mathrm{R}_2 = 260 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{C} = \mathrm{R}_3 = 1 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{D} = \mathrm{R}_4 = 0,145 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{E} = \mathrm{R}_5 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]


Voor de LO-modus:

[imath] \mathrm{A} = \mathrm{R}_1 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{B} = \mathrm{R}_2 = 32,7 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{C} = \mathrm{R}_3 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]
[imath] \mathrm{D} = \mathrm{R}_4 = 2 \mathrm{k}\Omega [/imath] (heb deze voor de zekerheid nog even in Falstad zelf nagekeken)
[imath] \mathrm{E} = \mathrm{R}_5 = 10 \mathrm{k}\Omega [/imath]


Uit formule (18 ) zien we dat bij het gebruik van de [imath] \mathrm{k}\Omega [/imath] als eenheid zowel de teller als de noemer als eenheid [imath] (\mathrm{k}\Omega)^4 [/imath] krijgen. We kunnen de [imath] \mathrm{k}\Omega [/imath] in de berekening van [imath] \mathrm{gn}(\,\,) [/imath] dus net zo goed weglaten.

 

[ProgHead]

Even vertalen:

[imath] \mathrm{gn}(\alpha) = \frac{ \alpha^2 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_5 \, ( \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 ) }{ \mathrm{R}_1 ( \alpha \mathrm{R}_4 \, + \, \mathrm{R}_5 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_4 ) \, ( \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 + \alpha \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 \, + \, \alpha \, \mathrm{R}_4^2 \, + \, \mathrm{R}_ 4 \, \mathrm{R}_5 \, - \, \alpha^2 \, \mathrm{R}_4^2 \, - \, \alpha^3 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_4 - \alpha^2 \, \mathrm{R}_3 \, \mathrm{R}_5 ) } \,\,\,\,\,\,\,\, (18) [/imath]

Dus kunnen we de teller T" ook schrijven als:

[imath] \mathrm{T''} = \alpha^2 * \mathrm{B} * \mathrm{E} * ( \alpha * \mathrm{D}^2 + \mathrm{D} * \mathrm{E} - \alpha^2 * \mathrm{D}^2 ) \,\,\,\,\,\,\,\, (19) [/imath]

En de noemer N" als:

[imath] \mathrm{N''} = \mathrm{A} * ( \alpha * \mathrm{D} + \mathrm{E} - \alpha^2 * \mathrm{D} ) * ( \alpha^2 * \mathrm{C} * \mathrm{D} + \alpha * \mathrm{C} * \mathrm{E} + \alpha * \mathrm{D}^2 + \mathrm{D} * \mathrm{E} - \alpha^2 * \mathrm{D}^2 - \alpha^3 * \mathrm{C} * \mathrm{D} - \alpha^2 * \mathrm{C} * \mathrm{E} ) \,\,\,\,\,\,\,\, (20) [/imath]