Doen analoge modulars dat ook?

[ProgHead]

Ik heb het Faust dsp progje nog wat verder vereenvoudigd zodat het wiskundig beter te doorgronden valt:

declare name "funnyloop";

import("maths.lib");
import("filters.lib");

var    = 10^11*(hslider("variation", 0.20, 0.05, 0.25, 0.001))^4;
vol    = 0.1*(hslider("volume", 0.5, 0, 1, 0.001))^2;
start  = 0.01*button("start");
pol     = 1 - ( 2 - hslider("sway", 0.25, 0.01, 0.5, 0.001) )*button("restart");

A = _ , start :> _*-1 : _ ;
B = _ : atan : pole(pol) : pole(pol) : _*var : _ ;
C = A~B ;
process = C : atan : _*vol <: _,_ ;

Dit komt neer op de volgende vereenvoudiging van ons oorspronkelijke circuit:

(Merk op dat de laatste arctangens enkel als limiter werkt.)

Deze opzet werkt als synth iets minder prettig dan de oorspronkelijke opzet maar geeft wel hetzelfde soort geluiden:

Voor onderzoek naar de oorzaak van de voortgebrachte toonreeksen is het zinnig van het eenvoudigste nog werkende schema/programma uit te gaan.

 

[ProgHead]

Zodat na het opstarten geldt:

[imath] \tan \left (\frac{-1}{\, V} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} \right ) = x [/imath]

[imath] \frac{-1}{\, V} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \arctan(x) [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = -V \cdot \arctan(x) [/imath]


(Alleen is het me nog niet duidelijk hoe het hier met de integratieconstanten zit...)

 

[Nicolas 2000]

Als je dit als elektronische schakeling maakt moet je in ieder geval je integrators DC gaan koppelen of je hebt uberhaupt geen constanten. Nu is die constante in audio niet boeiend (gewoon een DC offset die je niet hoort en niet wilt) maar verderop in de keten kan hij wel invloed hebben. Als hij bv nogmaals door een integrator gaat zoals in het voorbeeld wordt hij een functie van x. En dat zou dan wel weer boeiend kunnen zijn.

 

[ProgHead]

Het lijkt me heel sterk dat een dergelijke schakeling als bovenstaand op een analoge computer of modulaire synthesizer ook van die typische tonenreeksen zou vertonen als het Faust progje voortbrengt. Maar zolang ik dat zelf nog niet kan controleren probeer ik wiskundig te bewijzen dat er voor bovenstaande vereenvoudigde schakeling simpelweg een vaste golf met weliswaar boventonen maar verder met een vaste grondfrequentie zal ontstaan. En als dat zo is dan moeten die tonenreeksen van het Faust progje wel een digitaal artefact zijn.

 

[ProgHead]

Een integrator als analoog circuit begint vanaf een startpunt (t=0) met integreren, en de momentane start grootte [imath] u_{out}(0) = u_0 [/imath] van het uitgangssignaal kun je bij de start meegeven. Je hebt eigenlijk te doen met een bepaalde integraal [imath] u_{out}(t) = - \left ( \int_0^t u_{in}(\tau) \, \mathrm{d} \tau + u_0 \right ) [/imath].

- Moet nu weg, later verder...

 

[ProgHead]

Voor een analoge integrator hebben we:

[imath] u_{out}(t) = - \left ( \int_0^t u_{in}(\tau) \, \mathrm{d} \tau + u_0 \right ) [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left \{ - \left ( \int_0^t u_{in}(\tau) \, \mathrm{d} \tau + u_0 \right ) \right \} [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left \{ \int_0^t u_{in}(\tau) \, \mathrm{d} \tau + u_0 \right \} [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left \{ \int_0^t u_{in}(\tau) \, \mathrm{d} \tau \right \} [/imath]

Laat [imath] U_{in} = U_{in}(t) [/imath] voor t > 0 een primitieve van [imath] u_{in} = u_{in}(t) [/imath] zijn. Dan vinden we voor positieve t dat:

[imath] \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \{ U_{in}(t) \, - \, U_{in}(0^+) \} [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \{ U_{in}(t) \} [/imath]

[imath] \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} = - u_{in} [/imath]

[imath] u_{in} = - \frac{\mathrm{d} u_{out}}{\mathrm{d} t} [/imath]

Mijn eerdere doorrekening van het vereenvoudigde circuit was dus op een minteken voor de integrators na correct, maar omdat er in ons circuit twee opeenvolgende integrators voorkomen blijft de uitkomst voor het uitgangssignaal hetzelfde. (De laatste als limiter werkende arctangens negeren we.)

 

[ProgHead]

Terug naar dit resultaat voor ons vereenvoudigde circuit:

[imath] \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = -V \cdot \arctan(x) [/imath]

Deze vergelijking beschrijft evengoed een wrijvingsloos massa-veer systeem waarvan de gewichtsloze veer een kracht uitoefent die evenredig is met de arctangens van de uitwijking x. En voor zo'n systeem geldt volgens dit eerdere berichtje energiebehoud wanneer er een potentiaal U bestaat met [imath] F = − \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} [/imath] . Dat een dergelijke potentiaal U voor ons systeem inderdaad bestaat zien we hieronder op een screenshot van WolframAlpha:

Het signaal dat door het vereenvoudigde circuit wordt voortgebracht kan dus ook beredeneerd worden door na te gaan hoe het daarmee corresponderende massa-veer systeem zich zal gedragen.

 

[ProgHead]

Laat E de totale energie van ons met het vereenvoudigde circuit corresponderende massa-veer systeem zijn. Verder geldt er zoals we weten energiebehoud. Dus voor ieder uitwijking x van de trillende massa hebben we dan:

[imath] \mathrm{E} = \mathrm{T}(x) + \mathrm{U}(x) [/imath]

[imath] \mathrm{E} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{m} \cdot (v(x))^2 + \mathrm{U}(x) [/imath]

[imath] v(x) = \pm \sqrt{ \frac{2}{\mathrm{m}} \cdot ( \mathrm{E} - \mathrm{U}(x) ) } [/imath]

De snelheid van de trillende massa v(x) is dus bij een gegeven totale energie E op het teken na een eenduidige functie van de uitwijking x. De trillende massa heeft bij een gegeven totale energie dus ook niet de vrijheid om het traject van de trilling snel of minder snel te doorlopen terwijl de maximale en minimale waarde van de uitwijking x door de totale energie wel vast liggen. Bijgevolg moet de frequentie van de trilling constant zijn en kan deze in de loop van de tijd niet verspringen.

Waarmee mijn speurtocht (voorlopig) ten einde is: de tonenriedeltjes zijn artefacten die niet voortvloeien uit de gesimuleerde differentiaalvergelijkingen zelf.

 

[Nicolas 2000]

Maar laat dat de pret niet drukken. Want als je een analoge computer in een bestaande modular hangt, kan je met de computer een massa-veer systeem simuleren en dan met de rest van de modular bv een oscillerend CV signaal genereren waardoor je bv een constant wisselende massa in je computermodel krijgt. Dat zou toch als een aardige zwoing moeten klinken.

 

[Patat Met]

Waarmee mijn speurtocht (voorlopig) ten einde is: de tonenriedeltjes zijn artefacten die niet voortvloeien uit de gesimuleerde differentiaalvergelijkingen zelf.

Vergeet je niet de vertraging van minimaal 1 klokpuls bij elke berekening?

 

[ProgHead]

Maar laat dat de pret niet drukken. Want als je een analoge computer in een bestaande modular hangt, kan je met de computer een massa-veer systeem simuleren en dan met de rest van de modular bv een oscillerend CV signaal genereren waardoor je bv een constant wisselende massa in je computermodel krijgt. Dat zou toch als een aardige zwoing moeten klinken.

Ik denk nu dat het voor mij het slimste is om The Analog Thing aan te schaffen en daarbij dan gaandeweg nog wat aanvullende modules te kopen of zelf te maken. Met een dergelijke combinatie moet dan inderdaad volop te experimenteren zijn.

 

[ProgHead]

Vergeet je niet de vertraging van minimaal 1 klokpuls bij elke berekening?

Dat de tonenriedeltjes een (vermoedelijk digitaal) artefact zijn dat wil zeggen niet voortkomen uit de gesimuleerde differentiaalvergelijkingen is mij nu wel duidelijk, maar hoe dat artefact dan precies tot stand komt is mij nog een raadsel. Daarin zou van alles mee kunnen spelen:

• De extreem hoge versterking in de loop.
• De sample tijd.
• De vertraging van minimaal 1 klokpuls bij elke berekening.

En wie weet nog andere zaken...

 

[Nicolas 2000]

Ik denk nu dat het voor mij het slimste is om The Analog Thing aan te schaffen en daarbij dan gaandeweg nog wat aanvullende modules te kopen of zelf te maken. Met een dergelijke combinatie moet dan inderdaad volop te experimenteren zijn.

Heb je al iets van een modular? Want de coëfficiënten van THAT zijn statische waarden (tenzij je zelf aan de knoppen draait) en het lijkt me dus boeiender om ze door variabele CV te vervangen.

Verder is THAT wel de snelste en elegantste manier naar een redelijke analoge computer.

 

[ProgHead]

Nee - ik heb nog niets van hardware modular. Tot nog toe heb ik mij tot gepiel met gratis audio software beperkt. Daarmee is al ontiegelijk veel te experimenteren, maar soms loop je toch tegen grenzen aan met betrekking tot ontoelaatbare loops, latency problemen, vastlopende algoritmen, e.d. Maar het heeft allemaal geen haast. Zijn er voor een paar honderd euro ook tweedehands modulaire systeempjes te koop of is dat dan al veel duurder?

 

[Disharmonic]

Zijn er voor een paar honderd euro ook tweedehands modulaire systeempjes te koop of is dat dan al veel duurder?

Om te beginnen zou je 'ns kunnen kijken naar semi-modulair, bv. de Behringer Crave of Neutron.

 

[ProgHead]

Om te beginnen zou je 'ns kunnen kijken naar semi-modulair, bv. de Behringer Crave of Neutron.

Even gekeken, maar dat is niet wat ik zoek. Die systemen zijn er vooral op gericht om er via een keyboardje redelijk normale muziek mee te maken. Dat is niet mijn bedoeling, en ik wil er ook later zelf nog meer wiskundig gerichte modules aan toe kunnen voegen. Het zal dus bij voorkeur een modular rack moeten zijn.

 

[Disharmonic]

Even gekeken, maar dat is niet wat ik zoek. Die systemen zijn er vooral op gericht om er via een keyboardje redelijk normale muziek mee te maken. Dat is niet mijn bedoeling, en ik wil er ook later zelf nog meer wiskundig gerichte modules aan toe kunnen voegen. Het zal dus bij voorkeur een modular rack moeten zijn.

Hoe bedoel je dat? Die Behringers kun je met CV aansturen, het is allemaal wat minder uitgebreid als een grotere modular, maar als basis werkt het toch hetzelfde. Signalen van een analoge computer kun je dus gebruiken om zo'n synthje aan te sturen.

 

[Nicolas 2000]

En andersom, de (CV) signalen van een Crave ofzo om een analoge computer aan te sturen.

Maar je komt voor dat laatste ook een heel eind met bv een Doepfer LFO module.

 

[ProgHead]

In de modular die ik voor ogen heb moeten vooral wiskundig georiënteerde modules komen die aan The Analog Thing nog ontbreken. Die zie ik in de Crave of Neutron niet zitten. Wat ik aan experimenten in gedachten heb zijn simulaties van exotische differentiaalvergelijkingen, het bouwen van generatieve patches, algoritmische composities, gepiel met neurale netwerken en artificial intelligence, en andere experimentele gekkigheid. De bekende technieken met LFO's, modulatie, ladder filters, ADSR, e.d. spreken mij niet aan. Dat is leuk om muziek mee te maken, maar daar ben ik niet goed in. Ik ben meer een onderzoeker. En daar heb ik nogal esoterische modules voor nodig.

 

[Disharmonic]

Hebben we in het andere draadje al over gehad, het doel van een modular synth is een andere. Ook al kom je soms modules tegen die enigszins de functionaliteit hebben die je zoekt, dan is het nog maar de vraag of het precies aansluit bij jouw behoeften. De functionaliteit van een analoge computer komt dichter in de buurt, maar ook bij zoiets als de Analog Thing loop je waarschijnlijk snel tegen de grenzen aan van wat mogelijk is. Esoterische modules die mathematisch zijn georiënteerd om mee te experimenteren, het zal voor een belangrijk deel neerkomen op zelfbouw als je dat wil, waarschijnlijk.

Ook al doet een modular/semi-modular niet precies wat je wil, zou het niet onmiddellijk afschrijven. Zeker die dingen van Behringer maken het mogelijk om de resultaten van je analoge computer gemakkelijk en tegen weinig kosten hoorbaar te maken, als middel ter 'sonificatie' van de resultaten. In elk geval om mee te beginnen. Kan zijn dat je het stoeien met een analoge computer wat tijd moet gunnen om beter te weten wat je mist, wat je anders wil, etc. En uiteindelijk dat je dan beter weet hoe je de computer- en synthfunctionaliteit dichter bij elkaar kunt brengen, naar jouw verkregen inzichten.